suku banyak

BAB XII. SUKU BANYAK

Pengertian:

f(x) = a n x n + a n−1x n−1+ a n−2 x n−2 +…+ a 2 x 2 +a1 x + a 0

adalah suku banyak (polinom) dengan :

- a n , a n−1 , a n−2 , ….,a 2 , a1 , a 0 adalah koefisienkoefisien

suku banyak yang merupakan konstanta real

dengan a n ≠ 0

- a 0 adalah suku tetap yang merupakan konstanta real

- n merupakan pangkat tertinggi dari x

Menghitung nilai suku banyak:

1. Metoda Substitusi :

Nilai suku banyak :

f(x) = a n x n + a n−1x n−1+ a n−2 x n−2 +…+ a 2 x 2 +a1 x + a 0

untuk x = h adalah :

f(h) = a n h n + a n−1h n−1+ a n−2 h n−2 +…+ a 2 h 2 +a1 h + a 0

contoh:

jika f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

nilai suku banyak untuk x = -2 adalah :

f(-2) = 4 . (-2) 3 + 2 .(-2) 2 + (-2) – 3

= -32 + 8 - 2 - 3

= - 29

2. Metoda Horner:

Nilai suku banyak :

f(x) = a n x n + a n−1x n−1+ a n−2 x n−2 +…+ a 2 x 2 +a1 x + a 0

untuk x = h adalah f(h) menggunakan Metoda Horner

diperlihatkan sbb:

An = an

An – 1 = An. h + an – 1

An – 2 = An–1 . h + an – 2 . .

. .

. .

A2 = A3. h + a2

A1 = A2. h + a1

A0 = A1. h + a0

x = h a n a n−1 a n−2 - - - a 2 a1 a 0

A n .h A n−1 . h A 3 .h A 2 .h A1 .h

An An – 1 An – 2 A2 A1 A 0 f(h)

Cara penyelesaian contoh metoda substitusi dapat

diselesaikan dengan cara Horner sbb:

f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

untuk x = -2 didapat :

x = -2 4 2 1 -3

-8 (+) 12 (+) -26 (+)

4 -6 13 -29 hasil dari f(-2)

= kalikan dengan x = -2

didapat f(-2) = -29

Pembagian Suku Banyak:

1. Dengan Pembagian Biasa:

Sisa pembagian oleh (x – h) terhadap

f(x) = a n x n + a n−1x n−1+ a n−2 x n−2 +…+ a 2 x 2 +a1 x + a 0

adalah P(h) atau f(x) = (x – h) H(h)+ P(h)

www.belajar-matematika.com - 2

Dimana :

(x – h) = pembagi

H(h) = hasil bagi

P(h) = sisa

Contoh sebelumnya :

Suku banyak f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 dengan x = -2 atau

(x+2)

(1) (2) (3)

4x 2 - 6x +13

x +2 4x 3 + 2x 2 + x - 3

(4x 2 . (x+2))�� 4x 3 + 8 x 2 -

- 6 x 2 +x

(-6x . (x+2))�� - 6 x 2 - 12x

-

13x – 3

(13 . (x+2))�� 13x +26 -

- 29

Hasil bagi = H(h) = 4x 2 - 6x +13

Sisa = P(h) = -29

Proses pengerjaan:

urutan 1 : 4x 3 dibagi dengan x+2 didapat 4x 2

2 : kalikan 4x 2 dengan x+2

didapat 4x 3 +8 x 2

3 : kurangi 4x 3 + 2x 2 dengan 4x 3 +8 x 2

didapat - 6 x 2 kemudian turunkan x

sehingga menjadi - 6 x 2 +x

4 : bagi - 6 x 2 dengan x+2 didapat - 6x

5 : kalikan - 6x dengan x +2

didapat - 6 x 2 - 12x

6 : Kurangi - 6 x 2 +x dengan - 6 x 2 -12x

didapat 13x kemudian turunkan -3

sehingga menjadi 13x – 3

7 : bagi 13 x dengan x + 2 didapat 13

8 : kalikan 13 dengan x+2 didapat

13x + 26

9 : Kurangi 13x – 3 dengan 13x + 26

didapat – 29

didapat hasil bagi = 4x 2 - 6x +13 dengan sisa = -29

2. Pembagian suku banyak dengan cara Horner

a. Pembagian suku banyak dengan x - h

f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 dibagi dengan x+2

x = -2 4 2 1 -3

-8 (+) 12 (+) -26 (+)

4 -6 13 -29

Hasil bagi =: 4x 2 - 6x + 13 dengan sisa = -29

b. Pembagian suku banyak dengan ax + b

Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan

sebagai berikut :

Diketahui, h = –

a

b maka bentuk (x – h) dapat

dinyatakan sebagai :

x – h = ( x – (-

a

b ) ) = ( x +

a

b )

Pembagian suku banyak f(x) oleh (x +

a

b ) memberikan

hubungan berikut.

f(x) = (x +

a

b ) H(h) + sisa

=

a

1 (ax + b) H(h) + sisa

= (ax + b)

a

H(h) + sisa

Contoh :

Tentukan hasil bagi dan sisa dari

12x 3 + 4x 2 - 27x – 9 dibagi (2x + 3)

jawab:

x = -

2

3 12 4 -27 -9

-18 21 9

+

12 -14 -6 0

www.belajar-matematika.com - 3

Jadi hasil baginya adalah

2

12x2 −14x − 6

= 6x 2 - 7x - 3 dan sisanya adalah 0

c. Pembagian suku banyak dengan ax 2 + bx + c

Dengan cara pembagian biasa:

contoh:

x 3 - x 2 + 4x – 4 dibagi oleh x 2 - 1

(1) (2)

x - 1

x 2 - 1 x 3 - x 2 + 4x – 4

(x . (x 2 -1))�� x 3 - x -

- x 2 +5x

(-1 . (x 2 -1))�� -x 2 + 1 -

5x – 5

(berderajat lebih kecil dari x 2 - 1, maka

perhitungan selesai dan ini merupakan sisa)

Hasil bagi adalah x – 1 dan sisa 5x - 5

Teorema Sisa:

Jika f(x) dibagi g(x) mempunyai hasil h(x) dan sisa

s(x) ditulis :

f(x) = g(x) h(x) + s(x)

f(x) = suku banyak yang dibagi

g(x)= pembagi

h(x) = hasil bagi

s(x) = sisa pembagian

Jika f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m (m ≤ n) maka

derajat h(x) dan s(x) masing-masing sebagai berikut.

• derajat h(x) adalah (n – m)

• derajat maksimum s(x) adalah (m – 1)

- jika h(x) = ax +b maka s(x) = konstan

- jika g(x) = ax 2 + bx +c maka s(x) = Ax + B

Apabila suku banyak f(x) :

- dibagi (x-a) maka sisanya adalah f (a).

- dibagi (ax-b) maka sisanya adalah f(

a

b )

- habis dibagi (x-a) maka f(a) = 0

Teorema Faktor:

- Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a)=0 , f(b) =0 dan

f(c)= 0 maka f(x) habis dibagi (x-a) (x-b) (x –c)

- jika f(a) = 0 maka x-a adalah faktor dari f(x)

- jika (x-a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar

dari f(x)

Akar-akar Suku banyak

1. Jika x1 , x 2 dan x 3 adalah akar-akar persamaan

ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 maka

x1 + x 2 + x 3 = -

a

b

x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 =

a

c

x1 x 2 x 3 = -

a

d

2. Jika x1 , x 2 , x 3 dan x 4 adalah akar-akar persamaan

ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 maka

x1 + x 2 + x 3 + x 4 = -

a

b

x1 x 2 + x1 x 3 + x1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 =

a

c

x1 x 2 x 3 + x1 x 3 x 4 + x1 x 2 x 4 + x 2 x 3 x 4 = -

a

d

x1 x 2 x 3 x 4 =

a

e

Akar-akar Rasional dari persamaan suku banyak:

Persamaan suku banyak :

a n x n + a n−1x n−1+ a n−2 x n−2 +…+ a 2 x 2 +a1 x + a 0 =0

dapat diselesaikan dengan mencari nilai pengganti x yang

memenuhi persamaan suku banyak itu. Nilai x tersebut

dinamakan penyelesaian atau akar persamaan suku

banyak tersebut.

www.belajar-matematika.com - 4

Jika f(x) adalah suku banyak maka (x-h) merupakan

faktor dari f(x) jika h adalah akar dari persamaan suku

banyak f(x) = 0 .

Akar-akar persamaan suku banyak f(0) dapat dicari

dengan menggunakan urutan langkah-langkah sbb:

1. Menentukan akar-akar yang mungkin dari f(x) =0,

yaitu

n

m ,

dimana:

m = factor bulat positif dari a 0

n = factor bulat dari a 0

2. Akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi f (

n

m ) = 0

Contoh:

f(x) = x 4 - 15x 2 - 10x + 24 = 0 maka

a n = 1 dan a 0 = 24

m = faktor bulat positif dari a 0 = 24,

yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

n = faktor bulat dari a 0 yaitu , -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6, -8,8

-12, 12, -24,24

akar yang mungkin adalah(

n

m ) : 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, 6,-6

,8,-8

substitusikan akar yang mungkin ke dalam persamaan

apakah f(

n

m ) = 0 ?

Karena soal berderajat 4 maka cari minimal 2 nilai akar

terlebih dahulu:

ambil nilai x=1 :

f(1) = 1 – 15 – 10 + 24 = 0 �� x = 1 adalah akar

persamaan

ambil nilai x = 2

f(2) = 16 – 60 – 20 + 24 = -40 �� x= 2 bukan akar

ambil nilai x = -2

f(-2) = 16 - 60 + 20 + 24 = 0 �� x = -2 adalah akar

persamaan

didapat dua nilai yaitu x = 1 dan x = -2

kalikan dua nilai sbb:

(x-1)(x+2) = x 2 + x - 2

Bagi persamaan dengan nilai tsb :

x 2 -x -12

x 2 +x- 2 x 4 - 15x 2 - 10x + 24

x 4 + x 3 -2x 2 -

- x 3 -13x 2 -10x

-x 3 -x 2 + 2 x -

-12x 2 -12x + 24

-12x 2 -12x + 24 -

0

( sisa 0 )

sehingga hasil akhirnya didapat :

f(x)= (x-1)(x+2)( x 2 -x -12) = 0 atau

(x-1)(x+2) (x -4 ) (x +3) = 0

didapat akar-akar persamaan :

x = 1 ; x = -2 ; x= -3 dan x = 4